MAKALAH PECAHAN

BAB II

PEMBAHASAN

A.    PECAHAN

Dalam kehidupan sehari-hari, pernahkah kamu melihat benda-benda yang telah terbagi menjadi beberapa bagian yang sama?Misalnya:

1. Roti terbagi menjadi tiga bagian yang sama

2. Kertas dipotong menjadi dua bagian yang sama,

3. Jeruk terbagi menjadi beberapa bagian yang sama,

4. Skala centimeter pada mistar terbagi menjadi skala milimeter.

Semua bagian yang sama itu berkaitan dengan pecahan.

Contoh :

Sebuah apel dipotong menjadi 2 bagian yang sama , sehingga setiap bagian besarnya adalah  bagiandari apel itu atau  bagian dari seluruhnya.Apabila  bagian itu dipotong lagi menjadi dua bagian yang sama, maka setiap bagian besarnya  bagiandari seluruhnya.

                        Sebuah jeruk mula-mula dibagi menjadi dua bagian yang sama. Satu bagian jeruk dari dua bagian yang sama itu disebut “satu per dua” atau “seperdua” atau “setengah” dan ditulis “”. Kedua bagian tersebut masing-masing dibagi dua lagi sehingga menjadi dua bagian yang sama. Dengan demikian dari sebuah jeruk diperoleh empat bagian jeruk yang sama. Satu bagian jeruk dari empat bagian yang sama itu disebut “satu per empat” atau “seperempat” dan ditulis .

Bilangan dan ini disebut bilangan pecahan. Untuk pecahan , bilangan 1 disebutpembilang danbilangan 2 disebut penyebut. Untuk pecahan , bilangan 1 disebutpembilang dan bilangan 4 disebut penyebut. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa Pecahan merupakan bagian dari keseluruhan suatu bilangan dan dirumuskan dengan:

Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk “ ”,dengan a dan b adalah bilangan bulat, b 0, dan b bukan faktor dari a disebut bilangan pecahan. Bilangan a disebut pembilang, b disebut penyebut.

Pecahan dapat dibedakan menjadi beberapa macam, yaitu :

1.      Pecahan Senilai

2.      Pecahan Biasa atau sederhana

3.      Pecahan Campuran

4.      Pecahan Desimal

5.      Pecahan Persen atau perseratus

6.      Permil atau perseribu.

B.     MACAM – MACAM PECAHAN

1.      Pecahan Senilai

Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang bernilai sama.atau  pecahan yang nilainya tidak akan berubah walaupun pembilang dan penyebutnya dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama yang tidak nol. Contoh :

v

v

v

v

Pecahan- pecahan ,, mempunyai nilai yang sama sehingga dapat ditulis =,.Dari uraian tersebut, tampak bahwa untuk memperoleh pecahan-pecahan yang senilai dapat dilakukan dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama.

2.      Pecahan Biasa atau Sederhana

Pecahan  dan  memiliki pembilang yang nilainya lebih kecil dari nilaipenyebutnya.Pecahan seperti ini disebut pecahan murni (pecahan sejati).

Contoh pecahan biasa lainnya adalah  ,, dan sebagainya.

Dari uraian di atas, apabila nilai pembilang lebih kecil dari nilai penyebut suatu pecahan, maka pecahan itu disebut pecahan biasa yang murni. Namun apabila pembilang lebih besar daripada penyebut suatu pecahan maka disebut pecahan  biasa tidak murni.

3.      Pecahan Campuran

Pecahan campuran merupakan pecahan yang terdiri atas bgian bilangan bulat dan bagian pecahan bilangan murni.Contoh : ,
bila kamu perhatikan terdapat sebuah bilangan bulat,yaitu 1 dan sebuah pecahan murni, yaitu .

4.      Pecahan Desimal

Pecahan Desimal merupakan pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000 dan seterusnya, dan ditulis dengan tanda koma.Contoh : 0,6 ; 4,6

Misal : pecahan desimal dari adalah  0,6          

  Pecahan desimal dari  adalah 2,8.

5.      Pecahan Persen atau perseratus

 Pecahan persen atau persseratus merupakan pecahan dengan penyebut 100 dan dilambangkan  dengan %. Contoh : 4% artinya 4/100.

6.      Permil atau perseribu.

Permil atau perseribu merupakan pecahan dengan penyebut 1.000 dan dilambangkan dengan %.Contoh : 8%_o artinya 8/1000.

C.   PENGUBAHAN BENTUK PECAHAN

1.      Mengubah Bilangan Pecahan Campuran ke Pecahan Biasa

Kamu tentunya sudah mengenal bilangan pecahan murni, yaitu bilangan pecahan yang pembilangnya kurang dari penyebutnya.Sebaliknya, pecahan yang pembilangnya lebih dari penyebutnya disebut bilangan pecahan tidak murni atau bisa juga disebut bilangan pecahan campuran, yaitu pecahan yang terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan biasa (murni atau pun tidak murni).Pecahan campuran dapat diubah menjadi bentuk pecahan biasa dan juga sebaliknya.Catatan: Mengubah bentuk pecahan tidak akan mengubah penyebutnya.

Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh berikut ini:

Cara II

Tulislah bilangan pecahan campuran 3 menjadi bilangan pecahan biasa.Jawab :

Berdasarkan contoh di atas dapat dirumuskan:

Pecahan campuran a dengan c 0 dapat diubah menjadi pecahan biasa

2.      Mengubah Bilangan Pecahan Biasa ke Pecahan Campuran.

Ibu memiliki 3 buah apel yang akan dibagikan kepada 2 orang anaknya dengan sama besar. Bagian apel yang akan diperoleh tiap anak adalah satu apel dan setengah apel. Hal ini dapat dinyatakan sebagai 3 : 2 atau . Bentuk pecahan  merupakan bentuk pecahan campuran. Pecahan campuran  terdiri atas  bilangan bulat 1 dan bilangan pecahan .

Tulislah bilangan pecahan biasa menjadi bilangan pecahan campuran

Cara II

Cara I 15 : 4 = 3 sisa 3

                                               

3.      Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Desimal dan Sebaliknya

Apabila suatu pecahan biasa atau campuran akan diubah atau dinyatakan ke dalam bentuk pecahan desimal, maka dapat dilakukan dengan cara mengubah penyebutnya menjadi 10, 100, 1.000, 10.000, dan seterusnya. Dapat pula dengan cara membagi pembilang dengan penyebutnya.

Sebaliknya, untuk mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa/campuran dapat dilakukan dengan menguraikan bentuk panjangnya terlebih dahulu.Missal : mengubah pecahan dan 2 menjadi pecahan decimal.

Jawab :   = 0,75 ,

4.      Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Persen dan Sebaliknya

Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapatdilakukan dengan cara mengubah pecahan semula menjadi pecahansenilai dengan penyebut 100. Jika hal itu sulit dikerjakan makadapat dilakukandengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan100%. Adapun untuk mengubah bentuk persen ke bentuk pecahanbiasa/campuran, ubahlah menjadi perseratus, kemudian sederhanakanlah.Missal :

a.       Nyatakan pecahanpecahan berikut dalam bentuk persen.      a.                    b.

b.      Nyatakan bentuk persen berikut menjadi bentuk pecahan biasa/ campuran.

a. 32%                         b. 120%

                        Jawab :

1.      Menyatakan dalam bentuk persen.

a.      

b.     

2.      Menyatakan dalam bentuk pecahan biasa

a.       32% =

b.      120%=

D.   PENGURANGAN DAN PENJUMLAHAN PECAHAN

1.      Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan bilangan bulat

Dalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan pecahan dengan bilangan bulat, ubahlah bilangan bulat itu ke dalam bentuk pecahan dengan penyebut sama dengan penyebut pecahan itu. Kemudian, jumlahkan atau kurangkan pembilangnya sebagaimana pada bilangan bulat.Jika pecahan tersebut berbentuk pecahan campuran, jumlahkan atau kurangkan bilangan bulat dengan bagian bilangan bulat pada pecahan campuran.

2.      Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan pecahan

Dalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan dua pecahan, samakan penyebut kedua pecahan tersebut, yaitu dengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya. Kemudian, baru dijumlahkan atau dikurangkan pembilang.

3.      Sifat-sifat pada penjumlahan dan pengurangan pecahan

Coba kalian ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan bilangan bulat.Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c maka berlaku

1)        sifat tertutup: a + b = c;

2)        sifat komutatif: a + b = b + a;

3)        sifat asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c);

4) bilangan (0) adalah unsur identitas pada penjumlahan: a + 0 = 0 + a = a;

5) invers dari a adalah –a dan invers dari –a adalah a, sedemikian sehingga

a + (–a) = (–a) + a=0

Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada penjumlahan bilangan pecahan, artinya sifat-sifat tersebut berlaku jika a, b, dan c bilangan pecahan.

E.   PERKALIAN PECAHAN

1.      Perkalian pecahan dengan pecahan

Untuk mengetahui cara menentukan hasil perkalian pada pecahan. Lihat Gambar !

Tampak bahwa luas daerah yang diarsir menunjukkan pecahan  bagian dari luas keseluruhan.Di lain pihak, daerah yang diarsir menunjukkan perkalian x . Jadi, dapat dikatakan bahwa luas daerah yang diarsir sama dengan perkalian pecahan x .

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut:

Untuk mengalikan dua pecahan  dan  dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut atau dapat ditulis  x  = dengan q,s 0.

Contoh :Tentukan hasil perkalian pecahan berikut dalam bentuk paling sederhana.

1.     . x

2.     x 1

Penyelesaian :

1.       x  =

         =  =  =

2.      - 2 x 1  =  x

                  =

                  =

                  =  =  =

2. Sifat-sifat perkalian pada pecahan

                        Ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada perkalian bilangan bulat berikut.

                        Untuk setiap bilangan bulat a,b dan c berlaku.

1)      Sifat tertutup : a x b = c ;

2)      Sifat komutatif : a x b = b x a ;

3)      Sifat asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c) ;

4)      Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan :

a x (b + c) = (a x b) + (a x c) ;

5)      Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan :

a x (b – c) = (a x b) – (a x c) ;

6)      a x 1 = 1 x a = a ; bilangan 1 adalah unsur identitas pada perkalian.

3.      Invers pada perkalian

Perhatikan perkalian bilangan berikut.

x  = 1  x  = 1

 

                        Pada perkalian-perkalian bilangan di atas,  adalah invers perkalian (kebalikan) dari . Sebaliknya,  adalah invers perkalian (kebalikan) dari .

                                    Dari uraian tersebut dapat dikatakan bahwa hasil kali suatu bilangan dengan invers (kebalikan) bilangan itu sama dengan 1.

F.    PEMBAGIAN PECAHAN

Kalian telah mempelajari bahwa operasi pembagian pada bilangan bulat merupakan invers (kebalikan) dari perkalian.Hal ini juga berlaku pada pembagian bilangan pecahan.

1.      : = = =                  =  = 2

Perhatikan uraian berikut

	2.  1 : = = 1 =  = 1

 

                               

Dengan mengamati uraian di atas, secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut.

Untuk sebarang pecahan dan dengan q 0, r 0,s 0 berlaku  : =   dimana  merupakan kebalikan(invers) dari

G.  PERPANGKATAN PECAHAN

Bilangan pecahan berpangkat bilangan bulat positif.Pada pembahasan kali ini, kita hanya akan membahas perpangkatan pada pecahan dengan pangkat bilangan bulat positif.

(     =

(     =

            =

            =

(    =

            =

            =   .......

(      =   sebanyak n faktor

Contoh lain:

1)      (             

2)     

Penyelesaian:

1)      ( =)                             =

=                                            = =

=                                                                   

BAB III

PENUTUP

A.    KESIMPULAN

Dalam pecahan penjumlahan dan pengurangan pecahan penyebutnya harus disamakan. Namun jika perkalian dan pembagian pecahan penyebutnya tidak harus disamakan.

B.     SARAN

Dalam makalah ini masih banyak kekurangan sehingga kami butuh kritik dari Ibu Dosen agar makalah ini dapat menjadi lebih baik.

         

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan nikmat serta hidayah-Nya terutama nikmat kesempatan dan kesehatan sehingga penulis dapat menyelesaikanmakalah mata kuliah “PENDIDIKAN MATEMATIKA 1”. Kemudian shalawat beserta salam kita sampaikan kepada Nabi besar kita Muhammad SAW yang telah memberikan pedoman hidup yakni al-qur’an dan sunnah untuk keselamatan umat di dunia.

Makalah ini merupakan salah satu tugas mata kuliah Pendidikan Matematika 1di program studi Pendidikan Guru Sekolah Dasar. Selanjutnya penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Ibu Amilla Fidyah Astuti, S.Pd selaku dosen pembimbing mata kuliah Pendidikan Matematika 1 dan kepada segenap pihak yang telah memberikan bimbingan serta arahan selama penulisan makalah ini.

Akhirnya penulis menyadari bahwa banyak terdapat kekurangan-kekurangan dalam penulisan makalah ini, maka dari itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang konstruktif dari para pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

                                                            Magelang, 15 November 2014

                                                                                    Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

A.  LATAR BELAKANG

Mempelajari Matematika tidak terlepas dengan bilangan Salah satu bagian dari klasifiksi bilangan adalah bilangan pecahan. Bilangan pecahan ini sudah diajarkan di jenjang SD kelas 3. Namun siswa SD masih sulit membayangkan hal-hal yang abstrak sehingga kita sering menemukan siswa lanjutan tidak menguasai materi Bilangan Pecahan dengan baik. Contoh : (1.) Ketika guru menerangkan bilangan pecahan ½ melalui peragaan kepada siswa dengan membagi sebatang kapur menjadi 2 bagian, Sang Guru berkata: Satu batang kapur ini jika dibelah menjadi 2 maka hasilnya ½. Lalu siswa bertanya: “Mengapa setengah?” “Bukankah menjadi 2 potong?” (2.) Kejadian lain yang terjadi sbb.: ½ + ⅓= 2/5 (pembilang ditambah dengan pembilang dan penyebut ditambah dengan penyebut) !

Pecahan adalah salah satu materi yang sangat tidak disukai siswa. Materi pecahan ini dianggap sulit sehingga hasil pembelajarannya seringkali kurang memuaskan. Dalam pembelajaran mata pelajaran matematika yang telah dibahas sebelumnya yang terjadi dilapangan guru hanya menerangkan mengenai teori dan pengetahuan berbahasanya saja dari pada keterampilan berbahasanya. Disini dapat dilihat dari aspek yang ada dalam pelajaran Matematika masih diajarkan terpisah, evaluasi yang dilaksanakan juga masih mengukur kemampuan kognitif proses pembelajaran masih didominasi oleh guru dengan menggunakan metode ceramah pada umumnya.

B.  TUJUAN PENULISAN

1.      Untuk mengetahui pecahan itu sendiri.

2.      Mengetahui jenis – jenis pecahan.

3.      Mengetahui pengubahan bentuk – bentuk pecahan.

4.      Mengetahui perkalian dan pembagian dalam pecahan.

5.      Untuk mengetahui penjumlahan dan pengurangan dalam pecahan.

C.  RUMUSAN MASALAH

1.      Apa itu Pecahan?

2.      Apasaja bentuk – bentuk pecahan tersebut?

3.      Bagaimana cara mengubah bentuk pecahan?

4.      Bagaimana cara mengetahui perkalian dan pembagian dalam pecahan?

5.      Bagaimana cara mengetahui penjumlahan dan pengurangan dalam pecahan?

MAKALAH MATEMATIKA

“PECAHAN”

MATA KULIAH PENDIDIKAN MATEMATIKA 1

Dosen Pengampu : Amilla Fidyah Astuti, S.Pd

Oleh :

Megawati Dian Linuwih        (13.0305.0163)

Nok Siti Farikah                              (13.0305.0181)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MAGELANG